Continuous Trajectory: 从 Independent Set Process 到另类 Giant Component

记
\(X_i\) 为
\(i\) 步后
\(|X|\) 的值。为了描述
\(X_i\)，我们猜测存在一个比较好的函数
\(x(t)\)，满足
\(X_i/n\approx x(i/n)\)。换句话说，如果
\(d\) 相同，则即使
\(n\) 不同，则在看了一定比例的点之后，选出的独立集标记掉的点比例是一样的。如果存在这样的
\(x(t)\)，如何求出它的表达式呢？我们考虑一步（
\(i\to i+1\)）时
\(X\) 的变化，变化量
\(E[X_{i+1}-X_i\mid X_1,\dots,X_i]=-1-\frac dn(X_i-1)\)，因为在
\(X\) 中选出的点期望有
\(p(X_i-1)\) 个邻居。反映到
\(x\) 上就是（令
\(t:=i/n\)）